cho xyz=1.CMR
\(\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(x+z\right)}+\frac{1}{z^3\left(y+z\right)}\ge\frac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
27 tháng 8 2017
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) thì có
\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{16}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\ge\frac{3a}{16}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(VT+\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{64}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{16}\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{16}\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
B
24 tháng 8 2017
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
6 tháng 12 2019
\(\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{y^2z^2}{x\left(y+z\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z+x\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x+y\right)}\)
\(\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 11 2019
Đề bài hình như ko đúng, với \(x=y=z=1\) thì dấu "=" ko xảy ra
11 tháng 1 2016
Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :
\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{x+1}{8}+\frac{x+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}\)
=> \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{x+1}{4}\) (1)
Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1
CM tương tự ra có " \(\frac{1}{\left(y+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{y+1}{4}\)(2) ; \(\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}-\frac{z+1}{4}\) (3)
Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1
Từ (1) (2) và (3) => \(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{x+y+z+3}{4}\)\(\ge\frac{9}{4}-\frac{3\sqrt[3]{xyz}+3}{4}=\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}\)
BĐT được chứng minh
Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1
đặt \(P=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{yz}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{zx}{y^2\left(z+x\right)}+\frac{xy}{z^2\left(x+y\right)}\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(\frac{yz}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{4yz}\ge\frac{1}{x};\frac{zx}{y^2\left(z+x\right)}+\frac{z+x}{4zx}\ge\frac{1}{y};\frac{xy}{z^2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{4xy}\ge\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow P+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)
dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1